2007年12月26日
無限級数
0 < x < 1の範囲で
無限級数和
f(x)=(x^2)/2+(x^4)/4+(x^8)/8+(x^16)/16+(x^32)/32+,,,,,,,,
が解析的に解けるとうれしいんだけれど、どなたかこの無限級数の解を解析的に解く方法を教えてくれませんか。ちなみにxで微分して各項の分母を払ってもいいのですが、それだと「2の冪」の冪の級数になってしまい、解析的なめどが立てません。しかしこの級数は定義から明らかに-log(1-x)よりは小さな関数であることはわかっているので、たぶん何かしらの解析解が求められることでしょう。
ちなみに0 < x < 1は高温相に対応し、それ以外の低温相での解析は無限級数ではなく、ちゃんとした閾値があり、漸化式（簡単な数列）の計算から求めることができると予測できるのですが、熱力学的極限が利かない範囲での解析なので、そう簡単な議論ではネタ落ちすることはできないかもしれません。もう少し考えてみたいと思います。
f(x)=(x^2)/2+(x^4)/4+(x^8)/8+(x^16)/16+(x^32)/32+,,,,,,,,
が解析的に解けるとうれしいんだけれど、どなたかこの無限級数の解を解析的に解く方法を教えてくれませんか。ちなみにxで微分して各項の分母を払ってもいいのですが、それだと「2の冪」の冪の級数になってしまい、解析的なめどが立てません。しかしこの級数は定義から明らかに-log(1-x)よりは小さな関数であることはわかっているので、たぶん何かしらの解析解が求められることでしょう。
ちなみに0 < x < 1は高温相に対応し、それ以外の低温相での解析は無限級数ではなく、ちゃんとした閾値があり、漸化式（簡単な数列）の計算から求めることができると予測できるのですが、熱力学的極限が利かない範囲での解析なので、そう簡単な議論ではネタ落ちすることはできないかもしれません。もう少し考えてみたいと思います。
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